なんとなく

α,β,γはα＞0,β＞0,γ＞0,α+β+γ＝πを満たすものとする。
このときsinαsinβsinγの最大値を求めよ。

気になったので解いてみた。合ってるでしょうか…

  • 直感的な回答

\alpha \leq 0, \beta \leq 0, \gamma \leq 0より0 \leq \{\alpha, \beta, \gamma\} \leq \pi。
このとき\sin \alphaは\alpha = \frac{\pi}{2}で最大化されるが、\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{2}とすると、和が1を超えてしまう。
0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}の範囲では\sin \alphaが単調増加であることを考えると、制約条件を考慮して\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}とするのが妥当かと思われる。

  • 普通の（？）回答

ラグランジュの未定乗数法より
L=\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma - \lambda(\alpha + \beta + \gamma - \pi)
\alpha, \beta, \gammaで偏微分して右辺を0とすると
\frac{\partial}{\partial \alpha}L=\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \lambda = 0
\frac{\partial}{\partial \beta}L=\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \lambda = 0
\frac{\partial}{\partial \gamma}L=\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \lambda = 0
で
\frac{\partial}{\partial \beta}L - \frac{\partial}{\partial \alpha}L = \sin \gamma(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = \sin \gamma \sin(\alpha - \beta) = 0
0 \leq \{\alpha, \beta, \gamma\} \leq \piより \alpha - \beta = 0
同様に
\frac{\partial}{\partial \gamma}L - \frac{\partial}{\partial \beta}L = \sin \alpha(\sin \beta \cos \gamma - cos \beta \sin \gamma) = \sin \alpha \sin(\beta - \gamma)=0
0 \leq \{\alpha, \beta, \gamma\} \leq \piより \beta - \gamma = 0
以上より
\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}

でしょうか？？なんか単峰性とか上に凸とかも証明しないといけないのかなあ。というか今回は未定乗数とか考えないで普通に偏微分して局大値を求めてよかったのか？まあ、三角関数の微分とか加法定理とか検索しないと思い出せないレベルの俺ですからね。よしとしておきましょう。

それにしても、TeXをブラウザで入力するのはえらい手間だな。YaTeXとかで打ってコピーすればよかった・・・しかもなんか汚いし。まあいっかー。